아무얘기

(작성일: 2024-12-04 18:38)7.10 Causality in the Connection Between D and E; Kramers-Kronig Relations A. Nonlocality in Time우리는 유전율 \(\epsilon\)이 frequency dependence를 가진다는 것으로부터 D와 E가 temporally nonlocal(=time difference)하다는 것을 알게 될 것이다. 다시 말해, 시간 t에서의 D가 시간 t에서의 E에만 의존하지 않는다는 것이다. 뒤에서 수식으로 유도하겠지만, 미리 스포하자면 시간 t에서의 D는 시간 t 이전의 모든 E에 의존하게 된다.$$ \vec{D}(\vec{x},t) = \epsilon(\omega) \vec{E}(\vec{x}, ..

(작성일: 2024-12-03 16:16)7.9 Illustration of the Spreading of a Pulse as It Propagates in a Dispersive Medium전에 썼던 u(x,t)와 A(k)의 관계식(=푸리에변환)이다. 어차피 실제 파동은 이것의 real part만 취하므로, u(x,t)를 다음과 같이 쓸 수 있다. Re(e^ix) = cos x = e^ix+e^(-ix)/2(c.c.는 complex conjugate로, 앞 항에 complex conjugate 취한 항이 뒤에 더해져있음을 말함)그럼 이것의 inverse transformation 개념으로 다음의 식 또한 유도 가능.이제 이번 장의 논의를 위해 다음의 특별한 파동을 생각하자.논의의 편의를 위해 다음을 가..

(작성일: 2024-12-03 15:13)7.8 Superposition of Waves in One Dimension; Group Velocity 분산적인 매질(dispersive media), 즉 파장에 따라 굴절률이 다른 매질에서 여러 진동수의 단색광이 혼합된 빛이 어떻게 전파되는지 다룰 것이다. 이번 절에서 얻어지는 주요한 세가지 결과는 다음과 같다.  1. 매질이 dispersive하다면, 즉 유전 상수가 장의 진동수의 함수라면, 위상속도는 파동의 각 진동수 성분마다 달라지게 된다. 따라서 파동의 각 진동수 성분은 다른 속도로 진행될 것이며 그 위상 또한 달라지게 될 것이다.  2. dispersive한 매질에서, 에너지 흐름의 속도는 위상속도와 매우 달라지게 될 것이며, 심지어 엄밀한 의미마저..

( 작성일 : 2024-12-02 13:20)7.5 Frequency Dispersion Characteristics of Dielectrics, Conductors, and Plasmas 지난 절들에선 단일 진동수의 빛(monochromatic EM wave)만을 다뤘다. 즉, dispersion이 없는 빛을 다뤘다. 그러나 실제 매질에서는 빛은 dispersion을 갖는다. 여러 색의 빛이 섞여있다는 것.그러니 이런 multi-frequency light가 매질을 통과할때 무슨 일이 일어났는지 알아보자. 다음과 같은 이론적 모델들을 다뤄보자.매질 내의 원자들이 그리 밀집하지 않은, low-density인 상황을 가정하여, 각 원자들이 느끼는 전자기장이 macroscopic한 전자기장과 동일하다고 가정..

( 작성일 : 2024-12-02 11:37)7.1 Plane Waves in a Nonconducting Medium 소스가 없고 무한한 매질(medium)에서 다음이 성립.여기에 평면파 해(~exp(iwt))를 대입하면 다음을 얻음. E 등은 amplitude로, 변수까지 나타내보면 E(w,x)와 같음.uniform isotropic linear material 가정,이 성립하고 이 때 \(\epsilon\)과 \(\mu\)는 w의 complex function이지만 여기서는 real and positive(=no loss)로 가정. 이를 풀면 다음의 해를 얻음. (위: 그리피스 , 아래: 잭슨 - vec{k} 대신 k\bold{n}으로 나타낸걸 볼 수 있다.)이것이 바로 전자기파(Electromag..

6.11 On the Question of Magnetic Monopoles2024년 기준으로 magnetic monopole(자기홀극)의 존재는 실험적으로 검증되지 않았다. 그러나 이론적으로 존재할 것이라는 심증이 몇가지 존재한다. 바꿔 말하면, 이론적으로 자기홀극이 존재하지 않을 이유가 없다. 1) 맥스웰 방정식의 비대칭성의 해결magnetic 'charge'가 존재한다면 다음과 같이 대칭적인 구조를 갖게 될 수 있다.2) 맥스웰 방정식의 ambiguity로 인한 가능성다음과 같은 field의 transformation과 source의 transformation을 고려하자.transformation의 구체적인 결과는 다음과 같다.따라서 우리가 어떤 입자의 거동만을 보고서는 이것이 electric ch..

( 작성일 : 2024-11-29 17:27)6.7 Poynting's Theorem and Conservation of Energy and Momentum for a System of Charged Particles and Electromagnetic Fields 전자기장 속에 전하가 존재하고, 전하가 전자기장에 의해 움직이게 될 경우 그 계의 에너지는 어떤 식으로 구해지며 어떤식으로 보존될까? 에 대한 이야기다. 우선 점전하가 속력 v로 움직이게 될 경우 다음 수식과 같이 일률은 F*v =qE*v가 될 것이다. W는 당연히 전자기장이 전하에 해준 일이 될 것이다. 즉 전자기장이 어떠한 형태로든 에너지를 가지고 있다는 얘기가 된다.움직이는 전하는 주위의 전자기장을 변화시킬 것이고, 변화된 전자기장은 다..

( 작성일 : 2024-11-28 16:45)6.6 Derivation of the Equations of Macroscopic Electromagnetism 미시적인 관점에서부터 거시적인 장에 대한 방정식인 맥스웰 방정식을 유도해보겠다, 바라보겠다. 이런 이야기를 하는 장이다. 과연 미시적인 세계에서도 우리의 맥스웰방정식이 동일할까.. 와 같은 생각도 동기가 될수 있겠다. 우선 다음의 생각으로부터 시작하자.미시적인 세계의 전자기장은 점전하들이 다닥다닥 붙어있으므로 아주 조금만 위치와 시간이 변하더라도 매우 급변할 것이다.이를 해결하기 위한 좋은 방법이 바로 '평균내기'이다. 어차피 macroscopic한 측정 과정 속에선 미시적관점에선 매우 큰 영역을 측정하게 될 것이므로 미시적인 요동은 전부 평균내져..

( 작성일 : 2024-11-28 15:21)6.5 Retarded Solutions for the Fields이제 실제 물리적 상황을 하나 풀어보자. 일정한 속도로 움직이는 점전하가 만드는 전기장과 자기장을 구해보자.로렌츠 게이지 하에서 맥스웰 방정식은앞선 6.4절에서 구한 retarded solution를 적용하면 퍼텐셜은 다음과 같이 구해진다.(A는 벡터라지만 component별로 따지면 Phi에서와 동일하고, 각 component별로 구한 뒤 다시 벡터 꼴로 합쳐 쓴거라고 보면 된다.)이로부터 바로 E와 B를 구할 수 있다. 그러나 이번 절에서는 조금 다르게, 보다 직접적으로 구해볼 것이다. 우선 다음과 같이 정리해보자.그럼 E와 B가 마치 바로 전에 봤던, Phi와 A가 만족하던 inhomoge..

( 작성일 : 2024-11-28 13:41 )6.4 Green Functions for the wave equations앞선 장에서, 로렌츠 게이지 하에서 맥스웰 방정식은 다음의 두 식으로 귀결됨을 보였다. (다른 두 식은 퍼텐셜 정의에 쓰임) 두 식 모두 다음 식과 같은 구조를 가지는 것을 볼 수 있다. (두 번째 식은 component 별로 보았을 때 그러하다)이는 inhomogeneous wave eqn으로, 만약 \(\psi \) 와 \( f \)에 time dependency가 없다면 static problem이 되어 poisson eqn이 될 것이다. 이를 풀기 위한 간단한 방법은 electrostatics에서와 마찬가지로 그린함수를 쓰는 것이다. 우선 no boundary(= boundar..