아무얘기

유전물질에서의 경계조건 문제를 풀자.가장 간단한 상황부터 생각해보자.왼쪽이 우리가 풀려는 상황이고, 오른쪽은 영상법을 쓰기 위해 image charge를 부여한 상황이다. 기본적으로 우리가 전기장을 구하기 위해 풀어야 하는 방정식은 이고, 경계조건은이다. 처음 두개는 tangential 방향 전기장에 대한 조건, 마지막 하나는 normal 방향 전기장에 대한 조건. 경계조건 식에 대해선 이전글( [잭슨 전자기학] Bound charge - 속박 전하) 하단을 참고. normal 방향 전기장 조건에 대해 설명하자면 free surface charge가 없는 상황이기 때문이다. 참고로 D=eps0 E + P = eps E이므로 P는 이미 eps에 포함되어 있으니 생각할 필요 없다. 그러나 우린 저 방정식을 ..

bound charge를 잭슨에서는 polarization-surface-charge, polarization-charge density라는 이름으로 부르나, 그리피스만큼 명확히 정의하고 비중을 크게 두어 boundary problem을 푸는 과정에서 적극적으로 이용하지는 않는다. 다만 4.3절에서 (※) 표시를 해둔 부분과 같이 빼놓을 수 없는 내용이다. 그리피스와 비교해가며 설명해보도록 하겠다. 부피 V 내에 있는 편극 P(r')가 만드는 퍼텐셜은 다음과 같다. (즉 부피 V도 P도 퍼텐셜 V도 전부 macroscopical - 잭슨에서의 유도와 조금 출발점이 다르다.)정리하면잭슨에선 나오지 않았던 surface term이 나왔다. 이는 두 책의 상황이 다르기 때문일까?잭슨 : (4.30)식의 \(\..

4.6 Models for the Molecular Polarizability 원자 또는 분자의 '집단적' 분극이 일어나는데는 2가지 가능성이 있다.1) 인가된 전기장에 의해 쌍극자가 유도(induced dipole moment)되어 발생. 참고로 이런 현상은 분자뿐만 아니라 중성원자에서도 일어날 수 있다.2) 랜덤한 방향을 향하는 이미 분극되어 있는 분자들이 인가된 전기장에 의해 정렬되면서 발생 1)은 harmonically bound charge를 가정. 전기장에 의해 평형 상태에서 전하가 x만큼 떨어졌을 때(즉 유도된 쌍극자의 +전하와 -전하가 떨어진 거리가 x) 받는 힘이 다음과 같다는 소리다.$$ \vec{F} = - m\omega_0^2 \vec{x} $$$$ m\omega_0^2 \vec{x..

4.5 Molecular Polarizability and Electric Susceptibilitymicroscopic한 관점에 관한 논의를 다시(어쩌면 처음 제대로) 한다. 전기장을 매질 속에서 걸어주면, 실제 전기장은 (걸어준 외부 전기장)+(매질 속 분자가 전기장에 반응(=편극)함으로써 나오는 전기장 - 예컨대 dipole 분자들의 정렬로부터 나오는 전기장)이 될 것이다. 그리피스 4.2.3절(The Field Inside a Dielectric)에서도 비슷한 논의를 한다. 그러나 제대로 보면 실제로는 별개의 얘기를 하고 있음을 알 수 있는데, 종합하여 정리해보도록 하겠다. 목적: 매질 속 위치 r에서의 전기장을 구하자. (살짝 스포하자면 그리피스에선 거시적 전기장을, 잭슨에선 미시적 전기장을 구..

4.3 Elementary Treatment of Electrostatics with Ponderable Media 매질 속 정전기학에 대해 다룰 차례다. 이전까지는 진공 속에서만 퍼텐셜 등을 논의했어서, microscopic field와 macroscopic field가 동일했다. (도체의 경우엔 면전하로 취급하여 macroscopic하게 설명할 수 있었다) 그러나 매질 속에서는 전하가 만드는 전기장 등에 매질이 반응하여 부가적인 전기장이 생성되는 등의 일이 벌어지기 때문에, 새로 고려해야할 것들이 생긴다. 이러한 반응은 microscopic하기 때문에, 기존의 macroscopic한 기술방식과 엮기 위해선 "averaging over macroscopically small, but microscopi..

4.2 Multipole Expansion of the Energy of a Charge Distribution in an External Field localized charge distribution \( \rho(\mathbf{x}) \) (localized는 multipole expansion이 가능하게끔 하기 위한 조건)가 "외부의" 퍼텐셜 \( \Phi(\mathbf{x}) \)에 존재할 때, 계의 electrostatic energy는 다음과 같다.Phi(x)를 다음과 같이 테일러 전개하자.이때 \( E = -\nabla \Phi \) 또한 외부의 전기장. 따라서 \( \nabla \cdot E = 0 \) (곰곰히 생각해보면 당연-가우스법칙 유도할 때 전하가 가우스면 밖에 있을 때를 생각해..

사실 ch3 내용을 작성하면서 공부는 많이 됐는데 효율이 너무 떨어져서 살짝 고민중이다. 그래도 4장 내용은 학부 떄 대충대충 했어서 4장까진 전체 내용을 쭉 풀어쓰는걸로..  4.1 Multipole expansion$$ \Phi(\vec{x}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{x}')}{|\vec{x}-\vec{x}'|} d^3 x' $$전하밀도 \(\rho\)가 localized charge distribution일 경우에 대해 알아보자. 간단히, 원점을 중심으로 하는 반지름 R의 구 안에서만 \(\rho \neq 0\)인 경우를 가정하자. 그럼 구 밖에서는 \(r_{\lt} = r' , r_{\gt} = r\)이므로 퍼텐셜을 다음과 같이 정..

3.12, 3.13 절을 다루겠다. 3.12 Eigenfunction Expansions for Green Functions위와같은 \(\psi(x)\)에 대한 미분방정식을 생각하자. (이런 꼴의 미방을 elliptic differential equation라고 함-근데 내가 알기론 더 general한 용어 아니었나 싶긴한데;) (이런 꼴의 미방은 파동방정식, 슈뢰딩거방정식, 푸아송방정식 등 여러가지가 존재)\( \lambda \)가 특별한 값을 가질 때를 제외하곤 well-behaved(finite&continuous)한 psi(x)를 얻을 수 없다.그 특별한 값들을 eigenvalue라 하고, 이때의 \(\psi(x)\)를 eigenfunction이라 한다.왜 선형대수학의 용어가 등장하느냐, $$ \..

원통좌표계를 다루는 3.7, 8, 11절을 묶어서 다뤄보겠다.논리 흐름은 구면좌표계에서와 다를게 없다. 단지 쓰이는 특수함수가 르장드르에서 베셀함수로 바뀔 뿐이다.수리물리 시간에 보통 스킵하는 함수인 한켈 함수 같은 것도 보게 된다.  1) 베셀 방정식 Bessel equation$$ \frac{d^2 R}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dR}{dx} + (1- \frac{\nu^2}{x^2}) R = 0 $$이 방정식의 해가 Bessel function이 된다.2) (제 1종) 베셀 함수 Bessel function (of the first kind of order ±v)v가 정수가 아닐 때 이 둘은 선형독립이다. (즉 미방 풀이 끝, 해를 더 찾을 필요 없다 - 베셀 방정식이 2계 미..

3.5 Associated Legendre Functions and the Spherical Harmonics이제 원통대칭성이 없는 경우도 다뤄볼 차례다. 원통대칭성이 없으면 구속조건이 풀리며 m=0 외의 값도 허용되고, 따라서 associated Legendre polynomial이 등장하게 된다.간략하게 몇가지 특징만 알아보면,  ( 참고로 Condon-Shortley Phase라 불리는, (-1)^m factor는 잭슨에선 연관 르장드르 다항식의 정의에 포함시켰다. 만약 포함시키지 않는 정의를 택한다면 (-1)^m factor는 spherical harmonics에서 등장하게 된다. 보통 후자의 정의를 양자역학에서 주로 택하게 된다. [이유? 나중에 여유되면 추가}) 위의 직교성으로부터, ortho..