[잭슨 전자기학] Ch 7.5 : 유전물질, 도체의 분산관계

(초안: 2024-12-02 13:20)

7.5 Frequency Dispersion Characteristics of Dielectrics, Conductors, and Plasmas

 

지난 절들에선 단일 진동수의 빛(monochromatic EM wave)만을 다뤘다. 즉, dispersion이 없는 빛을 다뤘다. 그러나 실제 매질에서는 빛은 dispersion을 갖는다. 여러 색의 빛이 섞여있다는 것.

그러니 이런 multi-frequency light가 매질을 통과할때 무슨 일이 일어났는지 알아보자.

 

다음과 같은 이론적 모델들을 다뤄보자.

매질 내의 원자들이 그리 밀집하지 않은, low-density인 상황을 가정하여, 각 원자들이 느끼는 전자기장이 macroscopic한 전자기장과 동일하다고 가정하자. (즉 이전의 microscopic한 논의들을 잠시 치워두고 편하게 생각하자는 것)

그럼 위 식과 같이 전자가 전기력을 받아 damped harmonic oscillation을 할 것이다. 앞서 말했듯 simple toy model이라는 것을 상기하고 정당성을 깊게 고민하지 말자.

을 대입하여 푸리에 변환하면,

따라서 전자의 움직임으로 인해 생기는 dipole moment는 다음과 같고, 전자가 평형 위치로부터 움직였다는 것은 곧 편극이 일어났다는 것이므로 polarization 또한 다음과 같이 계산된다.

그러면 dielectric constant는

여기다가 '전자의 종류'를 고려해주면 다음을 얻게 된다.

이제 다음 논의로 넘어가자.

A의 마지막에 구한 식을 실수부와 허수부로 나눈 것이다. 이로부터 분산관계(dispersion)와 absorption coefficients를 구할 수 있다.

편의를 위해 N, f_j를 1로 놓자.

 

(1) dispersion

실수부를 그려보면 다음과 같이 그려진다.

driving frequency w와 resonant frequency w0에 대해,

[0] w<w0일 땐 Re(eps/eps0)이 1보다 크고, w>w0일 땐 Re(eps/eps0)이 1보다 작다.

[1] w<<w0과 w>>w0 구간에선 w를 키울수록 Re(eps/eps0)의 값이 증가하는 것을 볼 수 있다. 이를 normal dispersion이라고 한다.

[2] w가 w0 근처일 때는 w를 키울 때 Re(eps/eps0)의 값이 감소하는 것을 볼 수 있다. 이를 anomalous dispersion이라고 한다.

이런 현상이 벌어지는 이유는, 지금의 고전적 모델에선 전자가 simple harmonic oscillation 중인데, 진동하는 전자의 phase가 resonance를 넘어가는 과정에서 phase가 0(즉, in phase)에서 pi(즉, out of phase)까지 증가하기 때문이다.

...라고 하는데 직관적으로 저 개형과 어떻게 이어지는지 이해가진 않는다. 식을 따져보고 이해해야할거 같은데 그러긴 귀찮..

 

(2) Absorption

eps/eps0가 그래프에 나온대로 허수부를 가지므로 eps는 허수고, 따라서 그의 제곱인 n도 허수고, 이를 w/c로 나눈 값인 k도 허수이므로 실수부 허수부를 쪼갠뒤 각각 beta와 alpha/2로 정의해주고 나면, 진행방향으로 갈수록 E의 intensity가 지수적으로 감수하는 것을 볼 수 있다. 즉 매질에 전자기파를 쏴주면 입사된 전자기파가 감쇠한다는 뜻. 물질이 어떻게 감쇠시키는지가 물질의 dielectric constant의 허수부(또는 굴절률의 허수부)에 반영된 셈.

그래서 우리가 정의한 alpha, beta가 dielectric constant와 어떻게 연결되는지 확인해본게 위의 식들이다. resonance 멀리에서는 absorption 그래프에서 보이듯 감쇠의 영향이 거의 없어지므로 alpha~0인 것.