아무얘기

잭슨 전자기학 258p에서 위와 같은 식을 보았다.잘 모르겠어서 chatgpt에게 물어보았다.역시 chatgpt는 최고야 보고 나니까 예전에 스쳐지나가면서 봤던 기억이 났다. 코헨타우지 양자역학 책을 훑다가 스캐터링 파트에서 한번 봤던 식. 평면파를 구면좌표계에서 expansion한 결과였다. sin(kr)/kr이 sphercial Bessel funtion이라는 걸 기억해두면 좋을지도.

간단하게 특징 차이 비교어떤 함수 f_n(x)가 complete orthonormal basis set을 이룬다고 할때 orthogonalityint dx f_n(x) f_m(x) = delta_nm 꼴 (상수 및 measure 등 구체적 디테일은 f에 따라 다르므로 생략)곱해지는 두 함수의 변수가 같음 (x)곱해지는 두 함수의 index가 다름 (n,m)연속변수 x에 대해 적분크로네커델타 (다만 평면파 exp(ikx)에서처럼 index(k)가 연속인 경우 디랙델타 경우도 존재) completeness relationsum_n f_n(x) f_n(x') = delt(x-x') 꼴 (상수 및 measure 등 구체적 디테일은 f에 따라 다르므로 생략)곱해지는 두 함수의 변수가 다름 (x, x')곱해지는 두..

사실 물리에서보단 다른데서 훨씬 많이 보게된거 같지만. Matrix calculus - Wikipedia Matrix calculus - WikipediaFrom Wikipedia, the free encyclopedia Specialized notation for multivariable calculus In mathematics, matrix calculus is a specialized notation for doing multivariable calculus, especially over spaces of matrices. It collects the various partial derivativeen.wikipedia.org [Math] Matrix Calculus : Numerator Layo..

1. gradient$$\nabla(r^n) = \nabla\left( (x^2 + y^2 + z^2)^{n/2} \right) $$$$ \text{x component: } \frac{d}{dx} \left( (x^2 + y^2 + z^2)^{n/2} \right) = \frac{n}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{n}{2}-1} \cdot 2x = n x (r^2)^{\frac{n}{2}-1} = n x r^{n-2} $$$$ \Rightarrow (n  x r^{n-2}, n y r^{n-2}, n  z r^{n-2}) = n r^{n-2} (x, y, z) $$$$  \Rightarrow \nabla(r^n) = n r^{n-2} \vec{r} = n r^{n-1} \hat{r..

같은 디랙델타라도 어떤건 sum for all n으로, 어떤건 int for all k으로 적혀있는걸 볼 수 있다.무슨 차이가 있을까? 이들은 전부 같은 디랙델타함수긴 하지만, 각기 다른 조건이 적용되었다는 점에서 사실 미묘하게 다르다. 이 차이는 각 변수의 domain에 반영되었다고도 볼 수 있는데, phi는 0to 2pi, z는 이 식에서는 0 to L 이어야 한다.더 확실하게는, 각 공식의 유도과정을 보면 알 수 있다.이 공식들의 유도 과정은, 주어진 domain과 일종의 boundary condition으로부터 특정 basis를 선택하여 expansion하고 계수를 basis function의 orthogonality를 이용해 결정하는 과정으로 이루어진다.delta phi-phi'는 plane w..

$$ \int_0^{2 \pi} P_{2n}(\cos{\theta}) d\theta = \begin{pmatrix} -1/2 \\ n \end{pmatrix}^2 $$ x=cos theta로 치환적분을 하면 1/sqrt(1-x^2) factor가 붙어서 더러워진다. 안될거라 생각하기 쉽지만 아마 이것도 꾸역꾸역 계산하면 나오긴 할.. 듯..?가장 괜찮은 방법은 르장드르 다항식의 생성함수 및 binomial equality를 써서 유도하는 것. X에서 🔭 Rorem 님 : "@U1connection 했어요!! 감사합니다 https://t.co/YpZ2al0cB4" / X

메이저한 내용들 말고 공부하면서 자잘하게 막히거나 했던 계산 혹은 표기들 정리. 1. 벡터로 (편)미분? 벡터 k로 편미분한걸 보고 당황... 식이 어떤 과정으로 나온건지 이해되긴 하는데 그럼 \( \partial ( \vec{k} \cdot \hat{r} )/\partial \vec{k} = \hat{r} \) 여야 하는데 이런걸 내가 봤던 적이 없었던 거 같았음. 그러나 다음 식을 보고 고전역학 과제 때 했었던 계산이 떠올라(!) 뜻을 파악. 저 편미분의 정체는 바로 gradient이다. 다시 말해, $$ \frac{\partial I_1(k)}{\partial \vec{k}} = \nabla I_1(k) $$ 그럼 왜 1) 전미분 기호(d)가 아닌 편미분 기호를 사용하고 2) 왜 벡터 k를 쓰느냐에..