아무얘기

5. 7 Force and Torque on and Energy of a Localized Current Distribution in an External Magnetic Induction학부과정에서도 봤듯, 전류밀도 J가 만드는 힘과 토크는 다음과 같다.localized current distribution이 외부 장 B(x)에 놓이게 되면, 전류분포로 인해 자기장이 (천천히) 변하게 된다. 우선 위치 x에서의 자기장 B의 k번째 component는 다음과 같이 테일러 전개 가능하다. (당연히 k=x,y,z)그럼 힘의 i번째 성분은 다음과 같다.전에 유도했던 다음의 식을 이용하면,를 얻을 수 있다. 따라서 다음의 결론을 얻는다. (m은 density가 아니라 총 자기모멘트임에 유의할것)힘의 꼴로부터 퍼..

부끄럽지만 계속 헷갈려왔어서 정리.자기회전비율( \(\gamma \) ) : 어떤 물체나 계의 자기모멘트와 각운동량의 비. 즉 자기모멘트를 각운동량으로 나눈 값.고전적으로는 항상 Q/2M 으로 구해진다.양자역학적으로는 각운동량이 궤도 각운동량(L) 뿐만 아니라 스핀 각운동량(S)도 존재하기 때문에 나눠 생각해야한다.L의 경우는 고전적인 경우와 같은 결과가 나온다. 그러나 S의 경우는 고전적인 경우에 g-인자가 곱해져 나온다. 다음은 전자(를 비롯한 스핀 1/2 입자)의 경우에 해당.즉, 이 경우의 자기회전비율은 \( \gamma = - g \frac{e}{2m} \)으로, g-인자(=g)와는 (-e/2m)배 차이나는 것을 알 수 있다. 그 외에도 g-인자는 무차원이지만 자기회전비율은 차원이 있다는 차이가..

5.6 Magnetic Fields of a Localized Current Distribution, Magnetic Moment electrostatic multipole moment를 다룰 때와 비슷한 작업을 magnetostatics에서도 할 것이다.이를 벡터 퍼텐셜에 대입.여기서 첫 항은 0임을 유도할 수 있다. 이는 자기홀극이 존재하지 않음과도 일치한다. 유도는 다음과 같다.J의 발산이 0인 이유는 magnetostatics, 즉 steady current를 다루고 있기 때문이다. continuity eqn으로 생각해서 전하의 시간에 따른 변화가 없기 때문이라고 생각해도 좋다.이제 다음 항으로 넘어가자.이렇게 벡터 퍼텐셜의 두 번째 항을 얻었다. 따라서 다음과 같이 magnetic moment를..

잭슨 전자기학 258p에서 위와 같은 식을 보았다.잘 모르겠어서 chatgpt에게 물어보았다.역시 chatgpt는 최고야 보고 나니까 예전에 스쳐지나가면서 봤던 기억이 났다. 코헨타우지 양자역학 책을 훑다가 스캐터링 파트에서 한번 봤던 식. 평면파를 구면좌표계에서 expansion한 결과였다. sin(kr)/kr이 sphercial Bessel funtion이라는 걸 기억해두면 좋을지도.

5.5 Vector Potential and Magnetic Induction for a Circular Current Loop 위와 같은 고리 도선을 따라 전류가 흐르고 있다. 전류밀도는 phi 성분만 존재하며, 다음과 같다.(우변을 전체 부피에 대해 적분해주면 \(2 \pi a J \)가 나온다: J = (전체전류)/(둘레 길이)임과 부합)전류밀도를 직교좌표계에서 쓰면 다음과 같다.이제 벡터 퍼텐셜을 구할 건데, 계가 원통대칭성을 지니므로 xz 평면(phi' = 0) 에서의 퍼텐셜만 구해도 충분하다.boundary가 없으면(=boundary가 infinity에 있으면) 벡터퍼텐셜은 다음과 같으므로전류밀도 J와 평행하다. 즉, 우리가 구할 벡터퍼텐셜은 phi 성분만 존재한다. 이를 계산하면 다음과 같다..

정자기학(Magnetostatics)을 다루는 챕터다. 학부때랑 크게 달라지는 내용은 없다.이전 챕터들에서는 그린함수를 도입하여 정전기학 문제들을 풀었다면, 정자기학에서는 그런 새로운 방법도 등장하지 않는다. 특수함수들과 함께 더 복잡한 상황들에 대해 더 복잡한 계산들을 행할 뿐이다..(정자기학에서 그린함수가 사용되지 않는 이유: 정전기학에서 그린함수를 사용했던 이유는 퍼텐셜이 스칼라였고, 그린항등식이 스칼라장에 대한 식이였기 때문이다. 고로 정자기학에서도 그린함수를 사용하려면 벡터장에 대한 그린항등식과 같은 것이 존재해야 하고 이로부터 그린함수 포멀리즘을 구성하여야 하는데, 복잡하여 거의 쓰이지 않는다. 궁금하다면  (ENZCon 2016 Proceedings.pdf \342\200\224 procee..

유전물질에서의 경계조건 문제를 풀자.가장 간단한 상황부터 생각해보자.왼쪽이 우리가 풀려는 상황이고, 오른쪽은 영상법을 쓰기 위해 image charge를 부여한 상황이다. 기본적으로 우리가 전기장을 구하기 위해 풀어야 하는 방정식은 이고, 경계조건은이다. 처음 두개는 tangential 방향 전기장에 대한 조건, 마지막 하나는 normal 방향 전기장에 대한 조건. 경계조건 식에 대해선 이전글( [잭슨 전자기학] Bound charge - 속박 전하) 하단을 참고. normal 방향 전기장 조건에 대해 설명하자면 free surface charge가 없는 상황이기 때문이다. 참고로 D=eps0 E + P = eps E이므로 P는 이미 eps에 포함되어 있으니 생각할 필요 없다. 그러나 우린 저 방정식을 ..

간단하게 특징 차이 비교어떤 함수 f_n(x)가 complete orthonormal basis set을 이룬다고 할때 orthogonalityint dx f_n(x) f_m(x) = delta_nm 꼴 (상수 및 measure 등 구체적 디테일은 f에 따라 다르므로 생략)곱해지는 두 함수의 변수가 같음 (x)곱해지는 두 함수의 index가 다름 (n,m)연속변수 x에 대해 적분크로네커델타 (다만 평면파 exp(ikx)에서처럼 index(k)가 연속인 경우 디랙델타 경우도 존재) completeness relationsum_n f_n(x) f_n(x') = delt(x-x') 꼴 (상수 및 measure 등 구체적 디테일은 f에 따라 다르므로 생략)곱해지는 두 함수의 변수가 다름 (x, x')곱해지는 두..

사실 물리에서보단 다른데서 훨씬 많이 보게된거 같지만. Matrix calculus - Wikipedia Matrix calculus - WikipediaFrom Wikipedia, the free encyclopedia Specialized notation for multivariable calculus In mathematics, matrix calculus is a specialized notation for doing multivariable calculus, especially over spaces of matrices. It collects the various partial derivativeen.wikipedia.org [Math] Matrix Calculus : Numerator Layo..

1. gradient$$\nabla(r^n) = \nabla\left( (x^2 + y^2 + z^2)^{n/2} \right) $$$$ \text{x component: } \frac{d}{dx} \left( (x^2 + y^2 + z^2)^{n/2} \right) = \frac{n}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{n}{2}-1} \cdot 2x = n x (r^2)^{\frac{n}{2}-1} = n x r^{n-2} $$$$ \Rightarrow (n  x r^{n-2}, n y r^{n-2}, n  z r^{n-2}) = n r^{n-2} (x, y, z) $$$$  \Rightarrow \nabla(r^n) = n r^{n-2} \vec{r} = n r^{n-1} \hat{r..