5.5 Vector Potential and Magnetic Induction for a Circular Current Loop

위와 같은 고리 도선을 따라 전류가 흐르고 있다. 전류밀도는 phi 성분만 존재하며, 다음과 같다.

(우변을 전체 부피에 대해 적분해주면
전류밀도를 직교좌표계에서 쓰면 다음과 같다.

이제 벡터 퍼텐셜을 구할 건데, 계가 원통대칭성을 지니므로 xz 평면(phi' = 0) 에서의 퍼텐셜만 구해도 충분하다.
boundary가 없으면(=boundary가 infinity에 있으면) 벡터퍼텐셜은 다음과 같으므로

전류밀도 J와 평행하다. 즉, 우리가 구할 벡터퍼텐셜은 phi 성분만 존재한다. 이를 계산하면 다음과 같다.

(둘째 줄): 첫째줄에서 델타함수로 인해
(셋째 줄): 타원 적분을 이용하여 적분을 계산한 상황인데, 직접 해보려다간 끔찍한 치환적분 속에 갇혀 피를 볼 것이다. 그리 중요하지 않으니 눈으로 보기만 하고 넘어가도 된다.
구해진 결과를 특이하지만 다음과 같이 전개해보자.

그러고 나서 curl을 취하면 자기장을 얻을 수 있다. (특수함수를 어떻게든 전개를 해야 손으로 미분 가능하니까)

세 가지 흥미로운 영역이 존재하는데(theta<<1: 축 근처, r<<a : 원점 근처 , r>>a: 매우 멀리), 그 중 하나인 far-field, 즉 r>>a 영역에서의 자기장을 구해보면 다음과 같다.

5.6절에서 보게 되겠지만 dipole moment 꼴임은 우연이 아니다. (당연히 눈치채겠지만 이 경우도 multipole expansion이 존재한다)
벡터 퍼텐셜을 구하는 또다른 방법이 존재하여 소개한다. 3장에서 했듯 1/|x-x'|을 구면좌표계에서 전개하여 계산하는 것이다.

(둘째줄):

따라서 크로네터델타
여기서

를 이용해 정리하는 것이다.
또 마지막의 식은 어떻게 나왔냐 하면, 마찬가지로 바로 위의 일반식으로부터 (+연관 르장드르 다항식의 일반식) 나온 것이다.
이를 다 합쳐 정리하여 쓰면,

이 된다. (n=0일 때는 sum 바로 뒤 상수계수가 1이다. 그래서 분자에 (-1)!!이 들어가는 항은 생기지 않음)
이제 여기에 curl을 취하면 자기장을 구할 수 있다. 결과는 다음과 같다. (이 와중에 또 특이한 식을 써야하는 건 덤)

...이걸 직접 해볼 용자가 있을까?
다음과 같이 far-field를 구해보면 위에서 구했던 것과 일치하는 것을 확인할 수 있다. 추가로 원점 근처에서 z 방향으로의 자기장이 leading order로 나타난다고 한다. (정확히 z 방향이 아닌 이유는 원점이 아니라 원점 '근처'기 때문) 직관과도 부합하는 결과.

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