[잭슨 전자기학] Ch 5.6: 국소적 전류 분포가 만드는 자기장

5.6 Magnetic Fields of a Localized Current Distribution, Magnetic Moment

 

electrostatic multipole moment를 다룰 때와 비슷한 작업을 magnetostatics에서도 할 것이다.

이를 벡터 퍼텐셜에 대입.

여기서 첫 항은 0임을 유도할 수 있다. 이는 자기홀극이 존재하지 않음과도 일치한다. 유도는 다음과 같다.

J의 발산이 0인 이유는 magnetostatics, 즉 steady current를 다루고 있기 때문이다. continuity eqn으로 생각해서 전하의 시간에 따른 변화가 없기 때문이라고 생각해도 좋다.

이제 다음 항으로 넘어가자.

이렇게 벡터 퍼텐셜의 두 번째 항을 얻었다. 따라서 다음과 같이 magnetic moment를 정의하자.

M이 밀도, m이 M을 적분하여 나온 총 모멘트.

이를 이용하여 벡터 퍼텐셜의 두번째 항과 그에 해당하는 자기장을 적으면 다음과 같다.

벡터 퍼텐셜의 첫항이 0이었으므로, 이 dipole magnetic field가 leading term이 된다. 5.5절의 고리전류가 만드는 자기장이 먼 위치에서 dipole field로 나타난 것은 바로 이 때문. 

이에 따르면 5.5절에서 구한 far-field에서 \(m = I \pi a^2 \hat{z} \) 였던 것도 설명이 된다.

 

다음으로 잠깐 (semi) 고전적인 관점에서 전자의 스핀을 다뤄보자. 고전적으로, 전자의 magnetic moment는 다음과 같이 구해진다. 

그래서 전자의 자기모멘트와 각운동량은 비례하며, 그 비례상수 g를 gyromagnetic ratio라고 부른다. 자기회전비율 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

이제 semi-classical하게, 다음과 같은 논의를 할 수 있다.

그러나 실제로 전자의 자기모멘트를 측정해보면 이와 다른 값이 나온다. g 값이 대략 두 배 정도 더 큰 값이 나온다.

즉 고전적으로는 설명 불가능한, 완전히 양자역학적인 현상 중 하나이다. 이 외에도, 전자를 구 취급하고 적도에서의 회전속도를 구하면 빛보다 빨라지게 되는데 이 또한 고전적 설명의 한계이다.

참고로 디락 방정식에 따르면 전자의 g 값은 2로 예측되며, 측정값과의 오차를 전자의 이상자기모멘트(anomalous magnetic moment)라고 부르며 양자전기역학(QED)를 통해 매우 정확하게 설명된다. Anomalous magnetic dipole moment - Wikipedia 참고.

g-factor와 자기회전비율의 차이라던가 하는 이야기는 이 포스팅 참고: g-인자(g-factor)와 자기회전비율(gyromagnetic ratio)의 차이 

 

마지막으로 작은 구 내의 평균 자기장을 구해보자. 정전기학에서도 거의 유사한 상황을 다뤘었으니 참고: [잭슨 전자기학] Ch 4.1

두번째 등호는 스토크스 정리도 발산정리도 아님. 다음의 특이한 공식의 결과이다.

이제 A에 대한 식을 대입하면

둘째줄의 첫 등호는 단순히 AxB=-BxA를 사용한 것. 변수 의존성을 생각하며 적분 순서가 바뀐것을 확인하자. 둘째줄의 두번째등호는 밑줄친 부분에 대한 등호.

구 안에 current density가 localized되어 있다고 가정하면,

이로부터 dipole field는 다음과 같이 디락델타함수를 포함하게 된다(R->0으로 보내면 위에서 구한 바는 디락델타로 표현되어야만 하므로). 참고로 첫 항은 이 글 중간쯤에서 이미 구했던 바가 있다. 이 결과는 정전기학 때와도 유사하다.

이 디락델타는 수소원자의 전자구조의 hyperfine structure에 영향을 주게 된다.