직교성과 완전성 관계 차이 비교: orthogonality and completeness relation

간단하게 특징 차이 비교

어떤 함수 f_n(x)가 complete orthonormal basis set을 이룬다고 할때

 

orthogonality

int dx f_n(x) f_m(x) = delta_nm 꼴 (상수 및 measure 등 구체적 디테일은 f에 따라 다르므로 생략)

곱해지는 두 함수의 변수가 같음 (x)

곱해지는 두 함수의 index가 다름 (n,m)

연속변수 x에 대해 적분

크로네커델타 (다만 평면파 exp(ikx)에서처럼 index(k)가 연속인 경우 디랙델타 경우도 존재)

 

completeness relation

sum_n f_n(x) f_n(x') = delt(x-x') 꼴 (상수 및 measure 등 구체적 디테일은 f에 따라 다르므로 생략)

곱해지는 두 함수의 변수가 다름 (x, x')

곱해지는 두 함수의 index가 같음 (n)

인덱스 n에 대해 sum

디랙델타 -> 그래서 디랙델타의 expansion( 디랙델타 함수에 대한 간단한 이야기 )은 completeness relation을 정리해 나온 경우일때가 많다.