1차원 슈뢰딩거 방정식 (학부 수준)

1차원 상황에서의 슈뢰딩거 방정식에 관한 거의 모든 것을 알아보자. 

슈뢰딩거 방정식은 알다시피 시간 의존형 슈뢰딩거 방정식과 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식으로 구분되며, 1차원 슈뢰딩거 방정식을 푸는 문제에서는 특별히 문제에서 언급되지 않는 한 대개 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식을 풀게 된다. 따라서 이 글에서는 시간 독립형 슈뢰딩거 방정식을 푸는데에 집중할 것이다. 이는 곧 입자의 에너지가 시간이 흐르더라도 일정하다는 것을 의미한다.

 

목차는 크게 둘로 나누었다. 하나는 bound state(localized state), 즉 \( V(|x| \rightarrow \infty) > E \) 인 상황으로써 입자가 어느 한쪽 방향으로 이동하지 못하고 localized 되는 상황에 대해 다룰 것이며, 다른 한 파트에서는 unbounded state, 즉 \( V(|x| \rightarrow \infty ) < E \) 인 상황으로써 입자가 한쪽 방향에서 입사해와 다른 방향으로 이동하는, delocalized 되는 상황에 대해 다룰 것이다.

 

bound state의 특징: normalizable하다.

unbounded state의 특징: 평면파 형태로(즉, \( e^{ikx} \) 들의 합의 형태) 나타내어진다. 대개 normalizable하지 않다. 

참고로, paradox 글에서 자세히 보도록 하겠지만 normalizable하다고 bound state는 아니다. 반례가 존재한다.

 

1차원 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다. (정확히는 스핀 등 다른 힐베르트 공간의 존재를 무시했을 때)

$$ -\frac{ \hbar^2 }{ 2m } \frac{ \partial^2}{\partial x^2} \psi(x) + V(x) \psi(x) = E \psi(x) $$

 

처음 공부하는 사람들도 따라 갈 수 있을 정도의 친절함을 가지고 쓰려하나 쓰기 귀찮아질 경우 약간의 설명은 생략될 수도...

[목차] 

1. bound state(localized state)

1-1. particle in a box = infinite square well = infinite potential well

[1D 슈뢰딩거 방정식] 1-1. particle in a box (tistory.com)

1-2. finite square well 

[1D 슈뢰딩거 방정식] 1-2. finite square well (tistory.com)

1-3. Delta potential well

링크 

 

2. unbounded state(delocalized state) : scattering

2-1. barrier

링크

2-2. Tunneling

링크

2-1. finite square well

링크

2-2. delta potential barrier

링크

2-3*. double delta potential

링크

 

3. Paradox?

링크

 

4. Awesome problem set

4-1. spin entangled

4-2. hamiltonian including magnetic field

4-3. otherwise