[1D 슈뢰딩거 방정식] 1-1. particle in a box

= infinite square well = infinite potential well

 

다음의 퍼텐셜이 주어진 상황이다.

$$ V(x) = 0 (0 \lt x \lt L) , \infty \text{ (otherwise)} $$

 

0) 상황 해석

0<x<L인 공간에 입자가 완전히 구속된 상황이다. 입자는 고전적으로도, 이후 보겠지만 양자역학적으로도 퍼텐셜이 무한인 부분에서는 존재하지 못한다. 

 

1) 슈뢰딩거 방정식의 해

아주 기초적인 문제로써 일반물리에서도 풀어본 경험이 있을 것이다. 2nd order differential equation (2계 미분방정식)을 풀면 해가 곧바로 나온다. 해는 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \psi (x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{ \frac{n \pi x }{L} } & (0 \lt x \lt L) \text{; where n is non-negative integer }\\ 0 & \text{(otherwise)}\\ \end{cases} \end{equation}$$

 

즉 n의 값에 따라 다양한 해가 나올 수 있음을 확인할 수 있다. 유의할 것은 범위가 나누어져있으나, 이 전체가 하나의 입자를 기술하는 파동함수라는 것이다. 0<x<L에 존재하는 사인함수만이 입자의 파동함수가 아니라, 그 밖의 범위의 0을 전부 포함하여 하나의 파동함수를 이룬다.

 

앞의 계수 \( \sqrt{2/L} \) 는 normalization, 즉 전체 공간에서 파동함수의 절댓값의 제곱을 적분한 값이 1이 됨을 이용하여 구해진다.

 

2) 에너지 스펙트럼

이는 

 

즉 n 값에 따라 입자가 불연속적인 에너지 값을 가짐을 알 수 있다. 이러한 불연속적인 값이 나타나는 것을 보고 우리는 에너지가 양자화(quantized)되었다고 하며, 그 기원은 (미리 스포를 하자면) bound state라는 조건이다.

 

3) 

 

 

 

4) 재밌는 패러독스가 2가지 있다. 미리 소개하자면 다음과 같다.

1. momentum of particle

 

2. uncertainty of hamiltonian

 

모순처럼 보이지만 사실 해결 가능하다. 즉 모순이 아니다. 이에 대한 답은 패러독스 글에서 해결하도록 하겠다.

 

[참고하면 좋을 자료]

상자 속 입자 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 (wikipedia.org)

Particle in a box - Wikipedia