Shankar eqn (4.3.20)의 계산

식은 다음과 같다.

$$[\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{{\cosh }^2(i\hslash d/dp)}]{\psi }_E(p)=E{\psi }_E(p)$$

퍼텐셜 V(X)가 $V(X)={\cosh }^{2}X$ 로 주어졌을 때 슈뢰딩거 방정식을 운동량 basis에서 쓴 것이다.

이 때 d/dp 가 ${\cosh }^2$ 안에 들어가 있어 대체 어떻게 계산해야 하는가 싶어 멘붕이 왔었는데, 간단했다.

그냥 테일러 전개한 뒤 계산하면 된다.

$$\frac{1}{{\cosh }^2(x)}=1-x^2+\frac{2}{3}{x}^4-\frac{17}{45}{x}^6+\frac{62}{315}{x}^8+...$$

여기에 $i\hslash \frac{d}{dp}$을 넣은 뒤 나오는 무한 차수의 미분방정식을 풀면 된다.

물론 이를 직접 푸는건 사실상 불가능하기에 얌전히 위치 basis에서 풀라는 것이 책의 내용이다.