Shankar eqn (4.3.20)의 계산

식은 다음과 같다.

$$ \left[ \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{\cosh^2(i \hbar d/dp)} \right] \psi_E (p) = E \psi_E (p)$$

퍼텐셜 V(X)가 \( V(X)= \cosh^2 X \) 로 주어졌을 때 슈뢰딩거 방정식을 운동량 basis에서 쓴 것이다.

이 때 d/dp 가 \( \cosh^2 \) 안에 들어가 있어 대체 어떻게 계산해야 하는가 싶어 멘붕이 왔었는데, 간단했다.

그냥 테일러 전개한 뒤 계산하면 된다.

$$ \frac{1}{\cosh^2(x)} = 1 - x^2 + \frac{2}{3} x^4- \frac{17}{45} x^6 + \frac{62}{315} x^8 + ... $$

여기에 \(i \hbar \frac{d}{dp} \)을 넣은 뒤 나오는 무한 차수의 미분방정식을 풀면 된다.

물론 이를 직접 푸는건 사실상 불가능하기에 얌전히 위치 basis에서 풀라는 것이 책의 내용이다.