[잭슨 전자기학] Ch 5.11, 5.12: 외부 장에 놓인 자화된 구, 자기장 차폐

5.11 Magnetized Sphere in an External Field; Permanent Magnets

자화된 구를 외부 constant 자기장 안에 두자. 그럼 총 자기장은 구가 만드는 장과 외부 장의 linear superposition이 된다. 외부 장을 \(B_0 = \mu_0 H_0 \)라고 하면 구 내부 장은 다음과 같이 구해진다.

참고로 M은 외부 자기장으로 인해 만들어진 것이라고 가정하였다. 즉 구가 상자성 혹은 반자성이다(강자성이 아니다)고 가정하였다. 구의 permeability는 mu이다.

이는 정전기학에서 외부 전기장에 놓인 dielectric 구와 동일한 꼴임을 볼 수 있다. ( [잭슨 전자기학] Ch 4.4 Boundary-Value Problems with Dielectrics 후반. 식을 소개하진 않았다)

 

만약 구가 강자성체일 경우 M을 구하기 위해서는 우선 B와 H의 관계식 B(H) (보통 nonlinear)를 알아야 한다. 인덱스를 포함하자면, 물질 내부에서의 관계식이므로 B_in(H_in)을 말하는 것이 된다.

그럼 B_in = 3B_0 - 2mu_0 H_in은 그래프 상에서 y=3B_0 - 2x 와 같은 직선으로 나타나게 되고, B_0은 외부 자기장이므로 우리가 아는 값이라 이 직선이 결정된다. 이 직선과 저 nonlinear한 그래프와의 교점을 찾으면 Bin, Hin을 결정하게 된 셈이고 이로부터 M도 계산할 수 있게 된다.

 

5.12 Magnetic Shielding, Spherical Shell of Permeable Material in a Uniform Field

결론부터 말하자면 mu가 매우 크면 구 껍질 내의 자기장은 엄청 작아지게 된다. 이를 shielding effect라고 한다.

 

수식으로 풀어보자. J=0인 상황이기 때문에 scalar magnetic potential을 이용하여 풀 수 있다. 다음의 푸아송 방정식을

경계조건과 함께 풀면 된다.

이렇게 놓고

세 구역에 대해 식을 각각 세운 뒤

경계조건을 세운다. free surface current가 없기 때문에 B_normal과 H_parallel이 경계 안팎으로 같아야 한다. 구면좌표계에서의 식을 구해놓는다. 여기서 잠시 마지막 두 식이 어떻게 나왔는지 얘기하자면 \(\Phi_m\)이 애초에 \(H=-\nabla \Phi_m\)으로 정의되었기 때문이다.

경계조건을 풀어 쓰면 다음과 같다.

이제 4개 식을 연립만 해주면 4개의 미정계수(정확히는 각 l마다 4개지만 l=1만 살아남으므로 총 미정계수도 4개)가 전부 결정된다.

beta1과 gamma1은 생략.

구해진 결과를 들여다보자. 

구 외부는 dipole field이고 구 내부는 uniform field가 나왔다. 참고로 정전기학에서도 동일한 결과가 얻어졌었다.

이제 high permeability material로 이루어졌다고 생각해보자.

구 내부 장이 엄청 줄어드는 것을 볼 수 있다. (B~ delta_1 ~ mu_0/mu=1/mu' ~ 0 )