[잭슨 전자기학] Ch 5.10 : 균일하게 자화된 구

5.10 Uniformly Magnetized Sphere

 

J=0이고 M이 주어진 상황이므로 5.9절에서 배운 C 방법을 사용하자.

이고 이걸 다음 식에 대입하면

다음을 얻는다.

참고로 표면에서의 적분이기에 r_>,< 결정시 x'의 크기가 a가 되는것.

따라서 스칼라퍼텐셜 구한 후 이의 그래디언트를 구하고 (-)를 붙이면 H가 나온다. outside에서의 자기장 B는 그냥 저기에 mu0만 곱해주면 된다. dipole과 완전히 동일한 것을 볼 수 있다.

B와 H 방향이 구 내에서 반대방향인 것은 M의 영향. 

위의 3가지 (잭슨 그림의 캡션, 글, 바로 위 사진) 사실 전부 알아둘 필요가 있다. 마지막 것은 경계 조건으로부터 바로 암시되는 결과이기도 하다.

 

이 구의 자기장을 얻는 방법은 사실 2가지가 더 있다. 

하나는 자기 스칼라 퍼텐셜을 얻는 다른 방식이다.

 5.9절 하단에서 살짝 언급되었던 식으로, surface term를 따로 고려하지 않고 한번에 풀 수 있다는 장점이 있다. M(x')이 구 밖에선 0이 되므로 적분 영역은 자연스럽게 구 안으로 한정되게 되고(구 밖 영역에선 integrand가 0이 되니까), M(x')이 z 방향이므로 nabla와의 내적으로부터 d/dz이 생긴 것. 둘째줄로 넘어갈 때는 1/|x-x'|을 구면조화함수로 expansion하고 정리해 나가는 부분을 생략하고 바로 결과를 쓴것. l=0만 살아남는 이유는 solid angle에 대해 적분할 때 1/|x-x'|이 isotropic하니까. 그러나 계수를 결정하기 위해선 숨어있는 \(Y_{00} = \sqrt{1/4 \pi}\)를 뽑아내어 계산해야한다.

 

마지막 방법은 벡터퍼텐셜을 이용하는 방법이다.

(J=J_free=0인 상황이므로 J_free에 대한 항은 안 적혀있는 식)

단위노멀벡터 n은 r hat과 같다. 그래서 생각보다 속박 면전류 K_M을 구하는 것도 귀찮은 일. \(M=M_0 \hat{z}\)에서 \(\hat{z}\)를 구면좌표계로 바꾸고 구면좌표계에서의 단위벡터들의 외적 결과를 사용해 정리하면 된다.

주의할 점: x-z 평면(이때 xyz 축 방향 유의하기) 상에서, A는 전류와 평행하므로 전류와 마찬가지로 y방향을 향한다...고 생각하면 안된다. x-z 평면상에서는 분명 면전류가 y방향이 맞으나, A를 만드는 건 x-z 평면상에서의 면전류 뿐만 아니라 구 전체에 흐르는 면전류이다. 단지 대칭성에 의해 x-z 평면 상의 A의 x방향 성분이 상쇄되는 것이다. 그렇지만(!) 면전류가 phi 방향으로 흐르기에 A도 phi 방향으로 흐르고, x-z 평면상에서 phi 방향은 y방향이기 때문에 A도 y방향이라고 생각하는 것은 옳다. 둘은 분명히 논리적 차이가 있다..

아무튼 우리가 구한 면전류의 y성분만 택해서 계산하면 된다. 첫 식이 그렇게 얻어진 것이고.

둘째줄로 넘어갈때 계산을 꽤 크게 생략했는데 잭슨이 한 짓이다. 해보는것이 좋다.

얻어진 A(\(= A_\phi \hat{\phi}\) )에 curl을 취하면 자기장이 얻어진다.