[잭슨 전자기학] Ch 6.4 : 로렌츠 게이지 하의 맥스웰 방정식을 풀기 위한 시간 의존적 그린 함수

( 작성일 : 2024-11-28 13:41 )

6.4 Green Functions for the wave equations

앞선 장에서, 로렌츠 게이지 하에서 맥스웰 방정식은 다음의 두 식으로 귀결됨을 보였다. (다른 두 식은 퍼텐셜 정의에 쓰임)

 

두 식 모두 다음 식과 같은 구조를 가지는 것을 볼 수 있다. (두 번째 식은 component 별로 보았을 때 그러하다)

이는 inhomogeneous wave eqn으로, 만약 $\psi$ 와 $f$에 time dependency가 없다면 static problem이 되어 poisson eqn이 될 것이다. 이를 풀기 위한 간단한 방법은 electrostatics에서와 마찬가지로 그린함수를 쓰는 것이다. 

우선 no boundary(= boundary at infinity)를 가정하고, 다음과 같은 푸리에 변환을 생각하자.

여기서 아래의 두 식이 inverse transformation이라고 되어있는데, 대개 이들을 Fourier transfromation, 위의 두 식을 inverse FT라고 한다. 이 포스팅에서도 그렇게 쓸 것이다.

유의할건 f(x,t)와 f(x,w)는 다른 함수이기 때문에 f라고만 쓰지말고 꼭 변수를 같이 명시해줘야한다는 점이다. 그래서 다른 분야에서는 틸다를 붙여 구분하거나 한다. 

 

이를 이용해 식 전체를 푸리에 변환하면 다음과 같이 inhomogeneous Helmholtz wave eqn이 된다. (k=w/c)

이를 풀기 위해 구해야하는 그린함수는 다음을 만족해야 한다.

no boundary surface인 상태이므로, 그린함수는 $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x^{\prime }}$에만 의존하면 되고, spherically symmetric하게 되므로(x'을 원점에 두는 관점에서),  $R=|\overrightarrow{R}|$에만 의존하면 된다.

위 방정식을 구면좌표계로 옮기면, 

으로 바뀐다. (구면좌표계에서의 라플라시안 이용)

R이 0이 아닐 때는

를 얻게 된다.

R이 0일 때를 탐색하기 위해, R을 0에 가깝게 보낼 때를 생각하자.

이 식에서 일종의 order를 따져보자. 라플라시안은 대충 ~1/R^2 정도이므로, R->0 하에서 좌변의 첫항의 비중이 둘째항보다 매우 커지게 된다. 즉 좌변에서 첫항만 남기는 근사를 취해보면, 이는 푸아송 방정식과 같게 된다. 따라서 1장에서 구한 그린함수를 이용할 수 있다.

(이는 적절하게 normalization이 된 상태다. 즉, 1/R에 곱해져야하는 비례상수까지 고려되었다는 이야기)

이제 두 결론을 합치면 다음의 결론을 얻는다.

이제 본격적으로 맥스웰 방정식을 풀자. 이 과정에서 $G_k$의 $\pm$이 무슨 물리적 의미를 갖는지 보게 될 것이다.

 

위의 계산은 편의상 $G_k^{+}$ 만 넣고 구해본 것이다. (-)에 대한 경우까지 고려해서 써주면 결과는 다음과 같다.

유도과정 중 (첫 식): 그린함수와 소스 항을 곱해 적분하는 과정 (둘째 식): freq domain에서 쓰인 소스 항을 time domain에서 쓰인 소스 항으로 표현해주기 위해 FT된 f로 쓴 것. dw가 아니라 dt'가 들어가게 된건 그 때문. (셋째 식): freq domain에서 쓰인 $\mathrm{\Psi }$를  time domain에서 쓰기 위해 통째로 inverse FT해준것. (넷째 식): w에 관한 항만 남기고 나머지는 앞으로 빼준것 (다섯째 식): dw 적분을 해주어 델타함수가 나온것. 1/2pi 까지 델타함수에 흡수된 걸 볼 수 있다.

 

이제 물리적 해석이다. spacetime (x,t)에서의 퍼텐셜 $\mathrm{\Psi }$는 모든 spacetime (x',t')에서의 소스 f(x',t')들이 만드는 퍼텐셜의 총합인데, 델타함수로 인해 t' = t - R/c일 때의 소스만 영향을 줄 수 있게 된다. 즉 특정 위치 x, 특정 시각 t에서의 퍼텐셜은 그 위치로부터 R만큼 떨어진 곳의, 시간 R/c 만큼 과거의 소스 (즉 시각 t-R/c일 때의 소스)가 만드는 퍼텐셜들의 총합이다.

수식으로 보면 이는 $G_k^{(+)}$만을 고려한 것으로, $G_k^{(-)}$를 같은 방식으로 해석하면 시간 R/c만큼 미래의 소스가 영향을 주는 것을 의미하게 된다. 이는 인과율을 위반하므로, 앞으로의 논의에서 고려하지 않게 된다.

 

정리하면, 우리가 구한 그린함수 $G^{(\pm )}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })$ 는 다음의 미분방정식을 만족한다.

그리고 이 그린함수를 이용하여 퍼텐셜을 다음과 같이 x'와 t'에 대한 적분을 거쳐 구할 수 있다. 이 때, 우리가 구한 그린함수는 시간에 관한 델타함수를 포함하고 있으므로 t'에 대한 적분은 바로 계산되며, 이를 반영한 것이 [ ... ]_ret 노테이션이다.