[잭슨 전자기학] Ch 4.5

4.5 Molecular Polarizability and Electric Susceptibility

microscopic한 관점에 관한 논의를 다시(어쩌면 처음 제대로) 한다. 전기장을 매질 속에서 걸어주면, 실제 전기장은 (걸어준 외부 전기장)+(매질 속 분자가 전기장에 반응(=편극)함으로써 나오는 전기장 - 예컨대 dipole 분자들의 정렬로부터 나오는 전기장)이 될 것이다.

 

그리피스 4.2.3절(The Field Inside a Dielectric)에서도 비슷한 논의를 한다. 그러나 제대로 보면 실제로는 별개의 얘기를 하고 있음을 알 수 있는데, 종합하여 정리해보도록 하겠다.

 

목적: 매질 속 위치 r에서의 전기장을 구하자. (살짝 스포하자면 그리피스에선 거시적 전기장을, 잭슨에선 미시적 전기장을 구한다)

난점: 매질 속 분자들 하나하나가 쌍극자 모멘트를 가지고 전기장을 만든다. 위치 r에서의 전기장을 구하려면 이 모든 쌍극자가 만드는 전기장의 총합을 구해야 한다. 그러나 분자들이 매우 많을 뿐만 아니라 간격도 매우 촘촘하기 때문에 위치 r에 인접한 쌍극자들이 매우 가까이 있게 되고, 만드는 전기장의 크기가 매우 커져서 계산하기 어렵다.

해결 방안:

우선 4.1절에서 언급했던 "averaging over region that microscopically large but macroscopically small"을 사용.

이런 영역의 크기는 대충 분자 1000개 정도 들어갈 정도면 된다고 한다(그리피스).

(편극으로 인한) 위치 r에서의 거시적 전기장을 r을 중심으로 하는 분자 1000개 정도 들어갈 정도의 크기를 지니는 구를 잡고, 그 안의 분자들이 만드는 전기장을 평균낸 것으로 정의를 한다.

 

그리피스의 논의를 먼저 다루자.

(편극으로 인한) 위치 r에서의 거시적 전기장(E) = 구 밖의 모든 분자가 만드는 전기장(Eout) + 구 안의 모든 분자가 만드는 전기장(Ein)

Eout, Ein 모두 잭슨 4.1절에서 다뤘던 공식을 이용한다. Eout은 "구 외부의 전하분포가 만드는 구의 중심에서의 전기장 값은 구 내부 전기장의 평균값과 같다"는 점을 이용해 계산하고, Ein은 이전에 계산했듯 -P/3eps0이다.

식으로 쓰자면 다음과 같다.

구를 충분히 작게 하면 그 안에서의 P값은 거의 일정할 것이고, 그럼 구 안의 임의의 위치 r'에 대해 P(r')을 P로 통일할 수 있으며, 이를 바꿔말하면 Vin 또한

$$ V_{in} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{inside} \frac{P(r') \cdot \hat{r'}}{r'^2} d\tau' $$ 

 

 

로 쓸 수 있다는 뜻이 된다. 따라서 위치 r에서의 거시적 퍼텐셜은 두 퍼텐셜을 합친 결과인

로 쓸 수 있게 된다. (적분 영역은 매질 전체) 여기까지가 그리피스의 논의였으며, 생각해보면 알겠지만 microscopic한 논의가 사실상 없다!

이제 여기서부터 잭슨의 논의가 시작된다고 보면 된다. 그리피스는 macroscopic한 논의만을 주로 하였고, 잭슨은 그로부터 출발한 microscopic한 논의를 주로 하였기 때문.

 

잭슨의 논의에서는 E, Ei, Enear, Ep 4개의 기호와 (total electric field)=Ei+E, Ei= Enear-Ep라는 2개의 식이 등장한다. 이때 기호의 정의가 그리피스와 다르다는 것에 유의.

 

우선 첫번째 식 (total electric field)=Ei+E의 의미는 다음과 같다.

매질 속, 위치 r에 있는 분자가 받는 (미시적) 전기장(total electric field)을 구해보자. 이는 위치 r에 가해지는 거시적 전기장(E)와, 위치 r에 인접한 분자들(의 편극)이 가하는 미시적 전기장(Ei)의 합으로 볼 수 있다.

여기서 두가지 의문이 든다: 1) 거시적 전기장 E에 미시적 전기장이 이미 고려가 된거 아닌가? (또는 Ei가 정확히 뭘 말하는 거냐?) 2) '인접'이라는 건 무엇을 말하는가?

1) 아래 두번째 식에서 논의

2) 위에서 말한 microscopically large but macroscopically small region, 즉 <(편극으로 인한) 위치 r에서의 거시적 전기장을 r을 중심으로 하는 분자 1000개 정도 들어갈 정도의 크기를 지니는 구> 안을 말한다. 즉, 위치 r에서 멀리 떨어진 분자들은 구 밖에 위치하게 되고(=macroscopically r 외의 위치로 분류되는) 따라서 그 분자들이 위치 r에 있는 분자에 미치는 영향은 거시적 전기장 E에 포함되게 된다.

 

두번째 식 Ei= Enear-Ep의 의미는 다음과 같다.

인접한 분자들이 위치 r에 가하는 미시적 전기장(Ei)는 실제로 인접 분자들(의 편극)이 위치 r이 가하는 미시적 전기장(Enear)에서 인접 분자들이 위치 r에 만드는 전기장을 거시적으로 취급하기 위해 평균낸 전기장(Ep)을 뺀 것과 같다.

우선 Ep부터 얘기하자면 잭슨 본문에서도 보여주듯 Ep=-P/3eps0으로, 그리피스에서의 Ein과 동일한 대상이다.

Enear는 잭슨 본문에서 논의하듯 (대칭성에 의해) 거의 0에 가까운 값으로, 말 그대로 외부 전기장에 의해 편극된 위치 r 근처("구 내부")의 분자들이 만드는 전기장의 위치 r에서의 값을 말한다.

Ep과 Enear가 차이가 나는 이유는, Ep는 구 내부의 편극된 분자들이 만드는 전기장을 묶어서 외부의 거시적 관점에서 바라본 것이고, Enear는 구 내부의 편극된 분자들이 구 한가운데에 만드는 전기장을 말하는 것으로, 둘을 바라보는 시선이 다르기 때문이다. 마치 막대자석이 있다 쳤을때 멀리서 바라보면 아래에서 위로 향하는 magnetic dipole이 존재하여 유한한 자기장이 만들어지는 것으로 보이지만(Ep에 해당), 막대자석 가까이 가서 막대자석 한가운데에 (막대자석에 의해) 만들어지는 자기장의 값은 0인 것(Enear에 해당)과 같다.

Ei는 이 두 관점의 차에 해당하는 것으로, totalE = E+Ei = E+Enear-Ep = (거시적 관점)+(구 영역에 대한 미시적관점)-(구 영역에 대한 거시적관점)으로 생각해보면 어떤 역할을 하는지 이해할 수 있을 것이다. Ei가 특별한 어떤 물리적 대상을 가리킨다고 보기보다는, E가 거시적 관점으로 덮어버렸던(마치 그리피스의 논의에서처럼) 구 영역에 대한 미시적 관점을 복원시키는 역할을 하기 위해 도입된 것으로 이해하면 된다. 

참고로 E에 외부에서 걸어준 전기장이 포함되는지도 궁금할 수 있는데, 식 (4.67)과 그리피스 문제 4.41번을 비교해 생각해보면 이해할 수 있다. 포함된다. 

 

polarization vector P는 분자의 average dipole moment \( \braket{p_{mol}} \)와  \( P = N \braket{p_{mol}}  \)라는 관계를 만족한다. (기호 설명을 하자면 P는 dipole moment per unit volume, p는 total dipole moment, p_mol은 dipole moment per atom(or molecule)이다. 고로 N은 number of atom per unit volume. 그리피스에서는 p와 p_mol을 혼용해서 표기했었다. 문제 4.41번에서도 이에 대한 언급이 있다.) 

이제 분자 하나가 전기장에 대해 어떻게 반응하는지를 논하고, 이를 macroscopic한 전기장과 엮어서 기술해보도록 하자. (분자 하나가 겪는 전기장은 microscopic한 전기장이기 때문) 우선 molecular polarizablity \( \gamma_{mol} \)을 정의하자. 분자의 편극을 분자에 가해지는 (미시적) 전기장으로 나눈 값을 진공의 유전율로 나눈값으로 정의한다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

\( \gamma_{mol} \)은 전기장에 따라 변하는 값이긴 하지만, 일반적인 전기장 범위 내에선 상수 취급 가능하다. 그리피스에서의 노테이션과 대응시키자면, \(\epsilon_0 \gamma_{mol} = \alpha \)이다.

이를 바탕으로, 

$$ \begin{eqnarray} P &=& N \braket{p_{mol}} = N \epsilon_0 \gamma_{mol} (E+E_i) =N \epsilon_0 \gamma_{mol} (E+\frac{1}{3 \epsilon_0}P + E_{near}) \\ &=&N \epsilon_0 \gamma_{mol} (E+\frac{1}{3 \epsilon_0}P ) \text{(when } E_{near} \text{=0)}= N \gamma_{mol} (\epsilon_0 E+\frac{1}{3}P) \end{eqnarray}$$

를 얻을 수 있다. 여기에 \( P = \epsilon_0 \chi_e E \)까지 대입하고 정리하면

$$ \chi_e = \frac{N \gamma_{mol}}{1-\frac{1}{3} N \gamma_{mol}} $$를 얻을 수 있다.

좌변의 전기 감수율은 macroscopic한 성질이고 우변의 분자편극도는 microscopic한 성질이기 때문에, 이 공식은 이 둘을 연결해준다는 의미를 지닌다.

\( \epsilon / \epsilon_0 = 1+ \chi_e \)를 이용하여

처럼 정리할 수도 있다. 

이를 Clausius-Mossotti equation이라고 부른다. 광학에서는 굴절률과 유전상수(=상대유전율)가 지닌 관계 \( n^2 = \epsilon/\epsilon_0\)를 이용하여 위 공식의 유전율을 굴절률로 치환하여 사용하는데, 이렇게 정리할 경우 Lorentz–Lorenz equation( Clausius–Mossotti relation - Wikipedia )이라고 부른다.

이 식들은 기체와 같이 dilute한 물질들에 대해 잘 맞으며, 액체나 고체의 경우 유전상수가 큰 값을 지닐 경우에만 근사적으로 맞는다. 더 알아보고 싶으면 잭슨에서 언급한 레퍼런스 참고.