[잭슨 전자기학] Ch 4.2

4.2 Multipole Expansion of the Energy of a Charge Distribution in an External Field

 

localized charge distribution $\rho (\mathbf{x})$ (localized는 multipole expansion이 가능하게끔 하기 위한 조건)가 "외부의" 퍼텐셜 $\mathrm{\Phi }(\mathbf{x})$에 존재할 때, 계의 electrostatic energy는 다음과 같다.

Phi(x)를 다음과 같이 테일러 전개하자.

이때 $E=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$ 또한 외부의 전기장. 따라서 $\mathrm{\nabla }\cdot E=0$ (곰곰히 생각해보면 당연-가우스법칙 유도할 때 전하가 가우스면 밖에 있을 때를 생각해보라)

그럼 다음의 식의 값도 0이므로, 이를 Phi(x)에서 빼보자.

이제 이걸 위에서 구했던 계의 electrostatic energy W에 대입하면, 

와 같이 정리된다. (p = int rho x , etc)

이는 monopole, dipole, quadrupole 등이 외부 전기장과 어떻게 반응하는지를 보여준다. 

이 식 중 quadrupole interaction term은 핵물리학에서 중요히 여겨진다고 한다. nuclear state가 quadrupole moment를 가질 수 있고, W 식을 보면 이것이 전기장을 미분한 것과 coupling을 하기 때문에 외부 전기장이 가해지는 경우(crystal lattice, molecular)로부터 quadrupole moment를 결정할 수 있다고 한다. quadrupole term의 물리적 예시로 제시한 것일 뿐 자세하게 볼 필요는 없는 이야기. 

두 dipole 간 interaction energy를 W 식을 통해 구할 수 있다. 한 쌍극자를 외부 전기장의 소스로 생각해 대입하면 됨.