[잭슨 전자기학] Ch 4.3

4.3 Elementary Treatment of Electrostatics with Ponderable Media

 

매질 속 정전기학에 대해 다룰 차례다. 이전까지는 진공 속에서만 퍼텐셜 등을 논의했어서, microscopic field와 macroscopic field가 동일했다. (도체의 경우엔 면전하로 취급하여 macroscopic하게 설명할 수 있었다) 그러나 매질 속에서는 전하가 만드는 전기장 등에 매질이 반응하여 부가적인 전기장이 생성되는 등의 일이 벌어지기 때문에, 새로 고려해야할 것들이 생긴다. 이러한 반응은 microscopic하기 때문에, 기존의 macroscopic한 기술방식과 엮기 위해선 "averaging over macroscopically small, but microscopically large region"의 과정을 거쳐야한다. (이유는 Introduction에서 자세히 논의) 6장에서 맥스웰 방정식을 논의하고 이 과정을 다시 논의할 것이다.

 

이 과정은 한마디로 microscopic하게 존재하는 분자 단위의 편극을 몇개씩 모아다가 평균을 내서 하나의 큰 편극 단위(=위에서 말한 macroscopically small, but microscopically large region)로 생각하고, 이들을 다시 (macroscopic한 관점에서) infinitesimal하게 바라보는 과정이다.

 

잭슨에선 이 과정을 그리 친절하고 자세하게 설명하지 않는다. 차라리 그리피스가 낫다. 4.5절 설명할때 묶어서 제대로 설명해보도록 할테니, 우선 설명은 제끼고 수식파트부터 보기 시작하자.

 

위에서 말한 편극 단위 \( \Delta V \)안에 charge가 rho, dipole moment가 P만큼 있고 그보다 higher macroscopic multipole은 없다 가정할 때 그 편극 단위가 만드는 퍼텐셜은 다음과 같다. (x는 편극 단위 밖)

이제 편극 단위를 macroscopically infinitesimal하게 취급하면

두번째 항은 쌍극자층이 만드는 퍼텐셜과도 닮아보이나, 적분 영역이 면이 아니라 부피임에 유의 - (※).

두번째 항을 부분적분해주면

(잭슨은 surface term을 무시했는데, 이유는..? -(※))

이는

만큼의 charge가 진공 상에서 만드는 퍼텐셜과 같다. 즉 dipole moment가 effective charge로 기능한다는 것이고, 이를 polarization-charge density라고 한다(중요한 용어는 아님). 왜 이게 가능하냐면 dipole이라는 거 자체가 크기가 같고 부호가 다른 두 점전하가 작은 거리만큼 떨어진 것으로 볼 수 있고, 이는 microscopic한 부피 영역을 잡았을 때 그 안의 charge distribution은 균일하다 하더라도 dipole의 두 점전하중 하나만을 포함하게 잡게된다면 그 안의 전하량이 그만큼 바뀌게 되어 effective charge로써 영향을 끼칠수 있게 된다. 수식적으로 명확하기 때문에 대충 생각하고 당연한거 아닌가 생각할수도 있는데, dipole이 monopole처럼 거동한다는 이야기(!)이기 때문에 잘 생각해볼 필요가 있다. 그림 4.2 및 그리피스 4.2.2절 참고.

따라서 첫번째 맥스웰 방정식을 다음과 같이 수정할 수 있다

를 정의하면, 

를 얻는다. 이를 매질 속에서의 맥스웰 방정식이라고 따로 여기는 사람들도 있고 아예 원래 맥스웰 방정식이 이거라고 생각하기도 한다. 잭슨은 macroscopic version이라 부르는듯. -(※)

 

(※) 표시한 3개의 파트는 사실 약간의 수정 및 논의가 필요하다. 그리피스에서는 4.2절에서 다룬, bound charge에 관한 논의다. 이는 잭슨 4.4절을 다룰때 같이 다루도록 하겠다.

 

이제 D와 E를 연결하는 공식(introduction에서는 "constitutive relation"라 부르는 Constitutive equation - Wikipedia )을 개발할 차례다. 가정들과 함께 시작하자.

1) 우선 system은 applied field에 대해 linear하게 반응한다 가정. 이러면 강유전체를 논의에서 제외하게 되긴 하지만, 이런 특별한 계를 제외한 통상적인 계는 걸어주는 장의 세기가 너무 크지 않는 이상 linear하게 반응하기 때문에 이건 제한이라 부를것도 못된다. 

2) 매질이 등방적(isotropic)이라 가정. 그럼 induced polarization P는 걸어주는 전기장 E와 평행하게 되고, 다음처럼 쓸 수 있다.

이때의 비례상수 \( \chi_e\)는 매질의 electric susceptibility(전기 감수율)이라 부름. 이를 위에서 정의한 D 식에 대입하면

를 얻는다. \( \epsilon \)을 유전율(electric permittivity)라고 부르고,  \( \epsilon / \epsilon_0 = 1+\chi_e \)를 유전상수(dielectric constant) 또는 상대유전율(relative electric permittivity)라고 부른다.

\(P = \epsilon_0 \chi_e E\)에서 P, E는 둘다 macroscopic한 parameter이고(4.5절에서 다루는 microscopic한 관점을 보고 나면 헷갈릴 수 있는 부분), E는 편극 P에 의한 효과(P가 만드는 전기장, 그 전기장이 P에 영향을 미쳐 바뀌는 전기장, ...을 전부 포함)를 포함한다! 그럼 외부전기장 E0가 걸렸을때의 P를 구하려면 저 무한히 이어지는 효과를 전부 고려해야 하는가? 그렇다. 그치만 그리 어렵지 않은 방법이 있다. 4.4절에서 다룰 것. 그리피스의 Example 4.8을 보고 와도 좋다. 특히 식 (4.50) 바로 위에 있는 식을 보면 바로 짐작갈 것.

 

만약 등방적이지 않다면 유전율은 2-rank tensor가 된다.

 

3) 매질이 등방적일 뿐만 아니라 균일(=uniform=homogeneous)하다고 가정. 그럼 유전율은 위치에 독립적이게 되고, 위의 \( D= \epsilon E \)와 더불어 다음의 식이 성립하게 된다. \( \epsilon_0 \) 이 아니라 \( \epsilon \)임에 유의.

이렇게 된다면 1~3장에서 유도했던 진공 속 퍼텐셜 및 전기장 공식을 모두 이용할 수 있게 된다. 단지 \( \epsilon_0 \)을 \(\epsilon\)으로 바꿔주기만 하면 된다. \(1/4\pi \epsilon_0\)이 항상 곱해져 있던걸 생각하면, \(\epsilon_0\)이 \(\epsilon\)으로 대체되는 것은 전기장을 감소시키는 효과를 준다. 이는 매질 속 분자들이 전기장에 반응하며 일부 상쇄시키기 때문으로 이해할 수 있다. 축전기 판 사이에 유전물질 끼워넣는 예시가 나오는데 생략.

 

잭슨 및 그리피스에서 매질, 유전물질(dielectric), 선형 유전물질(linear dielectric) 등 비슷하면서도 조금씩 다른 용어들이 나오는데, 이 블로그 글에서는 이 셋을 전부 혼용해서 사용할 것이다. 위의 세 가정을 전부 만족하는 물질로 본다.

 

마지막으로 경계조건을 다룬다. 유전율이 다른 두 물질(진공 포함)을 맞붙여 놓는 상황을 생각한다면, 그 둘 사이의 계면(interface)에서의 경계조건을 고려해야한다. 유도는 잭슨에서는 생략. 4.4절에서 다시 한번 다루도록 하겠다.

이 경계조건은 시간에 따라 장이 변화하는 경우(time-varying)에 대해서도 성립한다.

 

4.4절에서 이 경계조건을 직접 적용해볼 것인데, 4.4절을 다루기 앞서 4.5, 4.6절을 다루고 난 뒤에 4.4를 보고자 한다. microscopic한 논의를 먼저 제대로 해놓고 싶다.