아무얘기

3.12, 3.13 절을 다루겠다. 3.12 Eigenfunction Expansions for Green Functions위와같은 \(\psi(x)\)에 대한 미분방정식을 생각하자. (이런 꼴의 미방을 elliptic differential equation라고 함-근데 내가 알기론 더 general한 용어 아니었나 싶긴한데;) (이런 꼴의 미방은 파동방정식, 슈뢰딩거방정식, 푸아송방정식 등 여러가지가 존재)\( \lambda \)가 특별한 값을 가질 때를 제외하곤 well-behaved(finite&continuous)한 psi(x)를 얻을 수 없다.그 특별한 값들을 eigenvalue라 하고, 이때의 \(\psi(x)\)를 eigenfunction이라 한다.왜 선형대수학의 용어가 등장하느냐, $$ \..

원통좌표계를 다루는 3.7, 8, 11절을 묶어서 다뤄보겠다.논리 흐름은 구면좌표계에서와 다를게 없다. 단지 쓰이는 특수함수가 르장드르에서 베셀함수로 바뀔 뿐이다.수리물리 시간에 보통 스킵하는 함수인 한켈 함수 같은 것도 보게 된다.  1) 베셀 방정식 Bessel equation$$ \frac{d^2 R}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dR}{dx} + (1- \frac{\nu^2}{x^2}) R = 0 $$이 방정식의 해가 Bessel function이 된다.2) (제 1종) 베셀 함수 Bessel function (of the first kind of order ±v)v가 정수가 아닐 때 이 둘은 선형독립이다. (즉 미방 풀이 끝, 해를 더 찾을 필요 없다 - 베셀 방정식이 2계 미..

3.5 Associated Legendre Functions and the Spherical Harmonics이제 원통대칭성이 없는 경우도 다뤄볼 차례다. 원통대칭성이 없으면 구속조건이 풀리며 m=0 외의 값도 허용되고, 따라서 associated Legendre polynomial이 등장하게 된다.간략하게 몇가지 특징만 알아보면,  ( 참고로 Condon-Shortley Phase라 불리는, (-1)^m factor는 잭슨에선 연관 르장드르 다항식의 정의에 포함시켰다. 만약 포함시키지 않는 정의를 택한다면 (-1)^m factor는 spherical harmonics에서 등장하게 된다. 보통 후자의 정의를 양자역학에서 주로 택하게 된다. [이유? 나중에 여유되면 추가}) 위의 직교성으로부터, ortho..

수식이 많아진다....3.1 Laplace Equation in Spherical Coordinates구면좌표계에서 변수분리는 다음과 같이 한다.대입 후 정리;변수가 분리되어 뒷항은 상수여야만 하고, 그 상수를 다음과 같이 정의 관심 영역이 전체 phi를 포함할 경우 ("full azimuthal range is allowed") Q(phi) = Q(phi+2pi) 구속조건이 생기고(한점에서의 퍼텐셜의 유일하게 결정되어야 하기에), 이 구속조건 하에서 m은 정수여야 한다. 이제 U랑 P도 변수분리하자. 상수 l을 도입해 다음과 같이 분리할수 있다. (왜 하필 l(l+1)로 썼는지는 다들 알것)두번째 미분방정식을 풀면 다음과 같다.3.2 르장드르 다항식전자기학, 양자역학, 수리물리 때 다루는 아주 낯익은 ..

2.1 Method of Imagez>0는 실제 전하가 있는 공간(=부피 내), z=0은 경계, Phi(z=0)=0은 경계조건(디리클레 조건), zz>0의 퍼텐셜 = 실제 전하가 만드는 퍼텐셜 + 가상전하가 만드는 퍼텐셜z 2.2 ~ 2.5 까진 여러 예시에 대해 영상법을 적용해보는 내용. 부피 내에 점전하가 하나 있고, 다양한 모양의 표면을 준다. 퍼텐셜을 구하고, surface에 대전되는 면전하를 구하고, 그 면전하로부터 전하가 받는 힘을 구해본다.공통된 과정은 다음과 같다.(1) 가상전하가 있을 만한 곳을 직관적으로 찍고, 그 위치와 전하량을 변수로 둔다.(2) 실제 점전하와 가상전하 둘이 만드는 퍼텐셜을 구하고, 그 퍼텐셜이 주어진 표면에서 0이 되어야 한다는 조건(접지)으로부터 가상전하와 전하량..

1.7  Poisson and Laplace Equation두 방정식 다 퍼텐셜을 구하는 방정식이다. (정확히는 정전기적 퍼텐셜)를 가우스 법칙에 대입하여 얻은를 푸아송 방정식(Poisson Equation)이라고 한다.이 중 특수한 경우로, 공간전하분포가 없는("charge-free region"), 즉 rho=0인 case에 대한 방정식은와 같으며 이를 라플라스 방정식(Laplace Equation)이라고 한다. 전하 분포가 없더라도 전위가 존재할 수 있느냐? 우선 수식적으로는 아래에서 다루겠지만, (적절한) 경계조건이 주어지면 그에 의해 강제로 전위가 결정되어 존재하게 된다.물리적으로는, 어떤 경계가 존재하여 그 표면에만 전하가 존재하면 된다. (ex: 도체) 구체적으로 면전하는 표면 근처 전위의 ..

1.1 쿨롱 법칙에 대한 정성적 설명.역제곱법칙, 전하의 부호, vector sum을 해야한다는 등. 1.2 전기장 및 디랙-델타 함수에 대한 설명.전기장을 간단하게 F=qE로부터 유도한다. 즉 단위전하 당 힘으로 바라본 것.보편적인 방식인 discrete -> continuous case로 일반적인 공식을 유도.$$ \vec{E}(\vec{x}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \rho(\vec{x}') \frac{\vec{x}-\vec{x}'}{|\vec{x}-\vec{x}'|^3} d^3 x' $$ 대충 discrete한 전하 q를 continuous한 전하 분포 \(\int \rho(x') d^3 x'\) 로 바꾼 것이라고 보면 된다. 디랙-델타 함수 성질 7개가 언급..

물리학과 대학원 전자기학 교재로 유명한David Jackson의 Classical Electrodynamics 3판을 공부하고 요약, 보충하며 정리해보도록 하겠다.수식 전개 보충 및 말로만 풀어쓴 부분 중 중요한 것들을 풀어 설명하는 걸 중점으로 해보고자 한다.(= 내가 잘 모르겠는 부분은 열심히 설명하고 잘 알고 있는 부분은 훅훅 넘어갈것...) 그리피스 전자기학에서 충분히 다뤄지는, 어쩌면 고등학교 수준까지도 내려가는 쉬운 내용은 생략할 수도 있다. 수식은 언젠가 싹다 latex으로 고치긴 할텐데 일단은 작성을 빠르게 위해 대충 캡쳐로.. 여튼 그래서 당분간은 가독성이 구릴수 있다;겨울되면 고쳐보도록 하겠다. ** 지적 댓글 적극 환영 **

한국어로는 유한 퍼텐셜 우물이라고 한다. 퍼텐셜은 다음과 같다. 일반물리 수준에서도 많이 풀어봤을 쉬운 상황이나, 놀랍게도 어려운 부분이 존재한다! 차근차근 알아보자. 1) 슈뢰딩거 방정식의 해 구간을 쪼개고, 각각의 구간에서 파수를 적절히 구해준 뒤 이를 이용해 2nd order DE를 나타내고 파동함수를 구한다. 해를 구할 시 파수를 이용하는 이유는 미분방정식의 해를 구할 때 파수를 이용해 문자를 나타내면 매우 편하게 해를 구할 수 있기 때문이다. 부가적인 이유로 평면파로써의 물리적 의미를 부여할 수 있다는 이유도 있으나, 이는 지금의 상황에서는 그 의미를 다소 명확히 보기 어려우며, infinite square well이나 double dirac barrier에서와 같은 상황에서 보다 명확히 드러난..

= infinite square well = infinite potential well 다음의 퍼텐셜이 주어진 상황이다. $$ V(x) = 0 (0 \lt x \lt L) , \infty \text{ (otherwise)} $$ 0) 상황 해석 0