디랙델타 함수에 대한 간단한 이야기

같은 디랙델타라도 어떤건 sum for all n으로, 어떤건 int for all k으로 적혀있는걸 볼 수 있다.

무슨 차이가 있을까? 이들은 전부 같은 디랙델타함수긴 하지만, 각기 다른 조건이 적용되었다는 점에서 사실 미묘하게 다르다. 

이 차이는 각 변수의 domain에 반영되었다고도 볼 수 있는데, phi는 0to 2pi, z는 이 식에서는 0 to L 이어야 한다.

더 확실하게는, 각 공식의 유도과정을 보면 알 수 있다.

이 공식들의 유도 과정은, 주어진 domain과 일종의 boundary condition으로부터 특정 basis를 선택하여 expansion하고 계수를 basis function의 orthogonality를 이용해 결정하는 과정으로 이루어진다.

delta phi-phi'는 plane wave를 basis로 하였고, 이는 phi가 2pi 주기성을 지닌다는 것과 plane wave도 위상 2pi 만큼의 주기성을 갖는다는 공통점으로부터 선택된 기저이다. 그리고 그 기저 exp(imphi)의 계수를 결정해보니 exp(-imphi')인 것이고.

delta z-z'는 첫 사진에서는 주기성에 대한 구속조건이 없기 때문에 모든 연속적인 k에 대해 적분이 들어간거고, 두번째 사진에서는 (미리 말은 안했지만) 0과 L에서 값이 0이어야 한다는 조건이 있는 상황이기 때문에 sin을 기저로 하여 구해진 것이다.

즉 같은 delta z-z'이어도 경계조건이 다르면 선택해야할 기저가 달라지고 꼴도 달라진다는 것. 경계조건이 어떻게 주어지냐에 따라 정의역도 당연히 달라질 수 있다.

 

마지막 delta(rho-rho')은 rho에 대한 조건으로부터 베셀함수를 기저로 한것.

맨 앞의 상수는 적분해서 1이 나와야한다는 normalization condition으로부터 결정됨.