1.5의 세제곱근을 암산으로 소숫점 네자리까지 구하기

트위터에서 보고 정리

 

$$ 1.5 = \frac{3}{2} = \frac{9}{8} \times \frac{4}{3} $$

$$ \frac{4}{3} = 1.333 \cdots \approx 1.331 = 1.1^3, \quad (\frac{4}{3})^{1/3} \approx 1.1 $$

$$ (\frac{9}{8})^{1/3} = (1+\frac{1}{8})^{1/3} = 1+ \frac{1}{3}\frac{1}{8} +\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2} (\frac{1}{3})^2 +\cdots \text{(taylor expansion)}  $$

$$ \approx 1+\frac{1}{24} - (\frac{1}{24})^2 = 1+\frac{1}{24} - \frac{1}{24}\frac{1}{25} = 1+\frac{1}{25} = 1.04 $$

$$ \Rightarrow 1.5^{1/3} \approx 1.1 \times 1.04 = 1.144 $$

이렇게 소숫점 세자리까지 구했다. 이제 오차 전파를 좀더 따져 더 정확하게 구해보자.

$$ \frac{4}{3} - 1.1^3 = 1.333 \cdots - 1.331 = 0.002333 \cdots $$

$$ \frac{9}{8} - 1.04^3 = 1.125 - 1.124864 =  0.00014 \cdots $$

잠시 다음의 수식을 생각하자. 여기서 \( x = 1.04, \delta x = 0.00014, y=1.1, \delta y = 0.00233\)이다.

$$ (x^3+ \delta x)(y^3+\delta y) \approx \left(x+\frac{\delta x}{3x^2}\right)^3 \left(y+\frac{\delta y}{3y^2}\right)^3  \approx \left[xy + \frac{1}{3} \left(\frac{y \delta x}{x^2}+ \frac{x \delta y}{y^2} \right) \right]^3$$

이제 다음의 두 근사를 떠올리자.

\(y/x^2 = 1.1/1.04^2 =1.1/1.0816 \approx 1 \) 

\( x \delta y/ y^2 = (0.00233)(1.04)/ (1.1)^2 = 0.002(1+0.165)(1.04)/(1.21) \)

\( \approx 0.002(1+0.165)(1+0.04)(1-0.21) \approx 0.002(1+0.165+0.04-0.21) \approx 0.002 \)

이를 원 식에 대입해주면,

$$ xy + \frac{1}{3} \left(\frac{y \delta x}{x^2}+ \frac{x \delta y}{y^2} \right) \approx xy+ \frac{1}{3} \left(1 \times \delta x + 0.002\right) $$

$$ = 1.144+\frac{1}{3} ( 0.00014+ 0.002) = 1.144+0.00071333 = 1.14471333$$

으로, 실제 값인 1.14471424와 소숫점 다섯자리까지 일치한다. 다섯번째 자리까지 일치하는 것은 우연 덕분으로 생각되고, 네번째 자리까지는 보장할 수 있는거 같다.

 

그럼 일반화도 가능할까?

$$ (1+\frac{1}{n})^{1/m} = 1+\frac{1}{m}\frac{1}{n} + \frac{\frac{1}{m}(\frac{1}{m}-1)}{2}\left(\frac{1}{n}\right)^2 = 1+\frac{1}{mn} + \frac{1-m}{2(mn)^2}$$

$$=1+\frac{1}{mn} \left( 1+ \frac{1-m}{2mn}\right) \approx  1+ \frac{1}{mn} \frac{1}{1- \frac{1-m}{2mn}} = 1+\frac{1}{mn+(m-1)/2} $$

즉 (1+1/n)의 곱으로 분해되는 유리수의 경우, m제곱근을 위의 식을 이용하여 쉽게(?) 구해낼 수 있다. 그리고 1보다 큰 모든 유리수는 이러한 분해가 가능하다. a/b = [a/(a-1)][(a-1)/(a-2)]...[(b+1)/b] = [1+1/(a-1)][1+1/(a-2)]...[1+1/b]이기 때문.

예시1)

2^(1/3) = (1+1/1)^(1/3) = 1+1/(1*3+(3-1)/2) = 1+1/4 = 1.25. 실제 값은 1.25992105로 약 0.01의 차이를 보임.

예시2)

(4/3)^(1/3) = (1+1/3)^(1/3) ~ 1+1/(3*3+(3-1)/2) = 1+1/10 = 1.1

(9/8)^(1/3) = (1+1/8)^(1/3) ~ 1+1/(3*8+(3-1)/2) = 1+1/25 = 1.04 로, 위에서 구했던 바와 동일한 값이 얻어진다.

 

사실 본문의 예시는 이 공식을 바로 적용해서도 계산 가능하다. 1.5^(1/3) = (1+1/2)^(1/3) = 1+1/(2*3+(3-1)/2) = 1+ 1/7 = 1.14285714. 다만 본문에서처럼 두 유리수로 쪼개서 계산한것보다 오차가 큰데, 이는 공식이 n 값이 클 수록 정확하기 때문. 정확한 두 값의 곱을 이용하여 계산하였기 때문에 좀 더 정확한 결과가 나왔다고 볼 수 있다.

그럼 더 잘게 쪼개면 더 정확한 값도 얻을 수 있을까?

9/8 = 27/26 * 13/12 , (9/8)^(1/3) = (1+1/26)^(1/3) (1+1/12)^(1/3) ~ (1+1/79)(1+1/37) = 1.04002737으로,

실제값인 (9/8)^(1/3) = 1.04004191 에 1.04일때보다 조금 더 가까워졌다. 그치만 암산의 영역을 벗어나기 시작하므로 일장일단이 있다.

 

그럼 오차 전파의 방식도 일반화가 가능할까? 본문의 경우는 기가 막히게 잘 떨어진 경우여서 일반적으로 저 정도까지 도달하기는 힘들지만, (오차들의 합)/m을 더하거나 빼서 구할 수 있다. 유도는 간단하니 생략.