고등학교에선 빛의 속도가 모든 관성계에서 같다는 가정에서 출발해 시간팽창을 단순한 예시를 바탕으로 유도한 뒤 수식적 확장을 끝낸다. 내가 재학했던 과고의 경우 선생님이 유별나서 그랬긴 했지만 spacetime diagram을 도입하여 설명했었다. 덕분에 학원 잘못 만난(?) 얘들은 선생님이 가르쳤던 내용보다 오버해서 spacetime diagram을 전부 마스터하느라 허덕여했던 기억이...
아무튼 강의에서는 Spacetime Physics, by Edwin F. Taylor and John A. Wheeler, W.H. Freeman & Co. 2nd Edition을 교재로 삼았고, 교재와 마찬가지로 spacetime interval을 도입하면서 시작하였다.
내멋대로 space = s, time = t로 줄여쓰자면 (st intv)^2 = (t intv)^2 - (s intv)^2으로 정의된다.
이 때 단위가 재밌는데, 시간과 공간이 같은 단위를 사용한다. 시간을 meter 등의 공간의 단위로 바꿀 수 있다는 소리. 광속이 그 비례상수가 된다. 즉 3초의 시간은 3s * 300,000m/s = 900,000m로 치환할 수 있다. 이러한 점에서 고등학교 때는 t 대신 ct를 이용하기도 하나, 학부부터는 광년 등의 단위를 이용해 c를 생략한다.
그리고 이 spacetime interval은 굉장히 중요한 특성을 갖는데, 시공간 상의 두 event 사이의 spacetime interval은 어떤 관성계에서 보던지 일정하다는 것이다. 마치 유클리드 기하에서 어떤 좌표변환(수학에서의 좌표변환이 아닌 물리에서의 좌표변환. 즉 변환행렬이 정규직교행렬인 경우1.) 을 하던지 두 점 사이의 거리가 같던 것과 유사하다. 그래서 시간축과 공간축은 허수 i배의 관계가 있다고 볼 수 있고, '시간축을 허수축으로 놓는다' 등의 말은 여기서 기원한다. 이러한 세팅을 둔 것을 민코프스키 시공간이라 하는 것 같고(수업 시간 때는 제대로 다루지 않았고 나 또한 제대로 배우지 않음), 시간축을 허수축으로 둘지 공간축 3개를 허수축으로 둘지는 그냥 convention이라고 나무위키의 한 각주가 열변을 토하고 있는데 무엇이 맞을지는 앞으로 공부하면서 알아가기로..
교과서(그리고 수업 또한)에서는 st interval 도입 이후 관성계, 관측자, 관성계에서의 측정에 대해 세심하게 정의해나간다. 그치만 고등학교 과정이니 패스. 또 모든 관성좌표계에서는 물리법칙이 동일하다(The Principle of Relativity). 하지만 이것도 쉬움. 패스. 교과서 기준 3장의 내용인데, 3장에 재미있는(그리고 내가 틀린) 문제가 있는데, 추후 포스팅.
교과서는 특이하게 4장 대신 L(Lorentz transformation) 장이 있는데, 내가 제대로 수업을 안 들었던 건지 모르겠지만 로렌츠 변환을 유도하는데 크게 힘을 들이지 않은 것 같다. 문제풀이를 위해 결과만 알아두면 되는 느낌. 1) 로렌츠 변환 2) 로렌츠 역변환 3) 상대론적 상대속도 3가지 공식이 교재 마지막 summary에 제시되어 있다.
5장에서는 spacetime map, 즉 spacetime diagram이 소개되어 있다. 교과서는 st diagram의 기하적 해석에는 큰 관심이 없고, 관측하는 관성계에 따라 worldline이 달라지고 그의 자취(즉 두 event 중 하나를 원점에 고정시켰을 때 다른 하나의 자취)가 hyperbola(st interval의 꼴을 보면 당연한 결과)를 그린다는 점, 두 event를 잇는 wordline이 달라질 때 그를 따라 측정한 시간이 어떻게 달라지는 등을 보며 고유시간의 성질 등을 느낀다. 또한 이로부터 로렌츠 인자(교재에서는 motivation을 위해 stretch factor라 이름붙여 소개한다)를 정의한다. 물론 수업 때는 교재와 같은 식으로 정의내리지 않았을 것 같지만, 오래되기도 했고 제대로 들었던 것 같지도 않아 교재의 접근만 소개한다.
위 그림에서 10, 3, 3은 각 경로에서 잰 proper time(고유시간). st interval이 일정하므로, (st intv)^2 = (proper time)^2 - 0^2 = (time intv)^2 - (space intv)^2 로부터 OQ의 고유시간은 sqrt(5^2-4^2) = 3이다.
이 예시를 일반화하면 재미있는 결론이 나온다.
Between two fixed events, a free particle follows the worldline of maximal aging. This more general prediction of the worldline of a free particle is called the "Principle of Maximal Aging". i.e. the path which gives the largest possible proper time. 2
6장에서는 timelike, spacelike, lightlike 이야기와 light cone 이야기. 특이할만한 이야기는 없다. 복습을 위해 써놓자면 (time interval)^2 > (space interval)^2 이면 timelike이고 light cone 바깥 영역에 해당한다.
7장에서부터는 드디어 4-vector와 momenergy 이야기가 나온다.
그 외에도 참고할만한 다른 글들.
4차원 시공간 이해하기 – 시간을 허수축에 놓는 뜻 – 녹색아카데미 (greenacademy.re.kr)
- 고전역학 시간 초반에 배웠던 내용인데 확신이 안든다(...) [본문으로]
- 저 Q에서 속도가 변하면서 특수 상대성이론을 더 이상 적용할 수 없긴 한데, 일반 상대성이론을 도입해도 OQB가 OB보다 더 짧은 고유시간을 겪는다는 것은 변함이 없다. 교재 150p (pdf 기준 160p) 참고. 또한 이는 쌍둥이 역설의 해답과도 일치한다. https://www.youtube.com/watch?v=0iJZ_QGMLD0 참고. 일반 상대성이론을 직접 도입하여 쌍둥이 역설을 해결하는 방법에 대해서는 Dexter's story :: 일반상대론에서의 쌍둥이 역설 (tistory.com) 참고. [본문으로]